Estimating the Population Mean

Just as we can estimate a population proportion, we can also estimate a population mean using a point estimate. A point estimate is simply the value of a statistic used to estimate the value of a parameter. When looking at averages, the sample mean, x, acts as the point estimate for the true population mean, μ.

For example, if you wanted to know the average fuel efficiency of a specific vehicle model, you might take a sample of 16 drivers. If their average comes out to 41.55 miles per gallon, that 41.55 is your point estimate for all vehicles of that type.

Enter Student's t-Distribution

When taking a simple random sample from a population that follows a normal distribution, we rely on Student's t-distribution rather than the standard normal distribution. The t-statistic is calculated as t=n​s​x−μ​ and relies on n−1 degrees of freedom, where n is your sample size and s is the sample standard deviation.

Here are the core properties you need to know about the t-distribution:

  • The distribution changes depending on the degrees of freedom.
  • It is centered at 0 and is perfectly symmetric.
  • The total area under the curve is exactly 1.
  • As the values on the t-axis increase or decrease without bound, the graph approaches 0 but never actually touches it.
  • The area in the tails of the t-distribution is slightly larger than the tails of a standard normal distribution.
  • As the sample size n increases, the t-distribution curve gets closer and closer to the standard normal density curve.

Building the Confidence Interval

To build a confidence interval for the population mean, you need to calculate the margin of error, denoted as E. The formula for this is E=t2α​​⋅n​s​, where t2α​​ is the critical value based on your chosen confidence level and degrees of freedom.

To find your final interval, you simply apply the margin of error to your point estimate:

  • Lower bound: x−t2α​​⋅n​s​ 
  • Upper bound: x+t2α​​⋅n​s​ 

Before applying this formula, it is crucial to verify that your data comes from a simple random sample or randomized experiment, the sample size is small relative to the population size, and the population is normally distributed (or the sample size is adequately large).

Determining the Right Sample Size

If you want to estimate the population mean within a specific margin of error, you must determine your sample size before collecting data. The sample size n required for a specific margin of error E is given by the formula n=(Ez2α​​⋅s​)2.

Always remember to round your resulting calculation up to the nearest whole number to ensure your sample is large enough to meet your confidence requirements.